HIMPUNAN

HIMPUNAN

Himpunan klasik (crip) merupakan konsep himpunan yang dipelajari pada tingkat dasar, menegah dan lanjutaan hingga dalam pengantar dasar matematika pada jenjang S1 yang dikembangkan oleh Ahli matematika Jerman George Cantor (1845-1918). Dalam himpunan klasik ini, keberadaan suatu elemen pada suatu himpunan (sebut misal himpunan A) hanya akan memiliki dua kemungkinan keanggotaan, yakni menjadi anggota A atau tidak menjadi anggota A. Jika objek tersebut menjadi anggota A, maka nilai keanggotaanya 1 dan jika tidak nilai keanggotaanya 0. Seiring dengan perkembangan ilmu pengetahuan dan teknologi, teori himpunan dikembangkan lebih modern yang disebut himpunan fuzzy (Akan di bahas pada bagian II). Konsep ini dikembangkan oleh ilmuan islam Prof. Lutfi Ahmad Zadeh berkebangsaan Iran. Dalam teori himpunan fuzzy yang dikembangkan, nilai keanggotaan suatu elemen berada pada himpunan bilangan real [0, 1]. Konsep ini merupakan pendefinisian untuk suatu himpunan yang keangggotaan tidak jelas menjadi jelas.

1.1. Pengertian Himpunan

Dalam kehidupan sehari-hari, sebutan himpunan, kumpulan, gugus, kelompok atau set bukanlah sesuatu yang asing. Misalnya sebutan-sebutan sebagai berikut:

a.       Himpunan negara-negara asia, yang disingkat dengan ASEAN

b.      Perhimpunan bangsa-bangsa yang disingkat dengan PBB

c.       Himpunan Mahasiswa Nahdlatul Wathan yang disingkat HIMMAH NW

d.      Sekumpulan binatang menjijikkan

e.       Kelompok gadis cantik

f.       Kumpulan lukisan indah

g.      Dalam Al-Qur’an surat Ar-ruum ayat 15 disebutkan konsep himpunan sebagai berikut:

“barang siapa yang beriman dan beramal soleh, maka mereka semua akan dihimpun di dalam sorga bersama orang-orang yang bergembira”

Pernahkah saudara berfikir, apakah yang dimaksud dengan himpunan? Coba anda perhatikan sebutan himpunan di atas, dalam konteks matematika sebutan himpunan pada option d, e dan f  bukan termasuk himpunan, karena anggotanya tidak jelas atau tidak dapat disebutkan secara tegas karena bersifat relatif  tergantung dari suatu sudut pandang tertentu. Binatang menjijikkan, gadis cantik dan lukisan indah bagi beberapa orang bisa jadi benar  tapi untuk orang lain bisa jadi tidak. Akan tetapi sebutan pada option  a, b, c, dan g sifat objek/individu di dalam himpunan tersebut dapat ditentukan dengan jelas dan insyaAllah setiap orang akan memiliki pemahaman yang sama tentang karakteristik anggotanya. Misalnya dalam optin g, siapa yang terdapat dalam himpunan orang-orang yang bergembira di dalam sorga..?  Jelas mereka yang beriman dan beramal soleh. Bagaimana jika hanya beriman tanpa beramal soleh..? atau sebaliknya beramal soleh tanpa beriman..? Jelas dapat kita ketahui mereka tersebut bukan termasuk dalam himpunan orang-orang yang bergembira di dalam sorga. Apalagi jika tidak beriman dan tidak beramal soleh jelas bukan anggota himpunan tersebut. Jadi apakah himpunan tersebut..?

Dalam matematika, konsep himpunan termasuk dalam unsur yang tidak terdefinisi (undefinedterm), artinya bahwa jika kita menjawab pertanyaan “apakah himpunan itu?” Kita tidak bisa menyebutkan dengan tepat sehingga jelas pengertiannya. Jika kita jawab “ Himpunan adalah kumpulan objek …” pernyataan itu kurang tepat, sebab himpunan dijelaskan oleh kumpulan sementara kumpulan sendiri adalah himpunan. Akan tetapi kita dapat membedakan konsep himpunan

Kata kunci dari konsep pengertian himpunan tersebut adalah berlainan dan terdefinisi. Berlainan berarti objek-objek dalam kumpulan tersebut berbeda satu dengan yang lainnya dan terdefinisi dimasudkan dengan masing-masing dari objek yang berlainan tersebut memenuhi semua sifat sebutannya atau dapat ditentukan dengan jelas.

Teladan1.1

Selidiki manakah berikut ini yang merupakan himpunan

a.       R = Koleksi nama-nama Nabi Rasul

b.      M = Kumpulan makanan lezat

c.       A = Himpunan bilangan asli yang kurang dari 15

d.      B = Himpunan binatang ternak

e.       J = Himpunan banyi yang menggemaskan

f.       D = Himpunan dosen non muslim IAIN Mataram

g.      Z = Himpunan nama-nama Allah

h.      U = {a,2,3,1,a,4,3}

Solusi:

a.       R merupakan himpunan, karena objek anggotanya dapat terdefinisi dengan jelas dimana elemen dari R = {Adam, Idris, Nuh, Hud, Soleh, Ibrahim, Luth, Ismail, Ishak, Ya’kub, Yusuf, Ayub, Syuib, Musa, Harun, Zulkifli, Daut, Sulaiman, Ilyas, Ilyasa, Yunus Zakaria, Yahya, Isa, Muhammad}

b.      Karena lezat bersifat relatif, tergantung dari cipta rasa seseorang, maka makanan lezat  dinyatakan tidak terdefinisi. Oleh karena itu M bukan termasuk himpunan, akan tetapi bisa disebut himpunan jika konsep lezat diberikan kriteria-kriteria tertentu. Analisis himpunan pada option c, d, e, f dan g diberikan sebagai latihan mahasiswa.

METODE PENDEFINISIAN HIMPUNAN

Pendefinisian himpunan dapat dilakukan dengan beberapa metode. Dalam kuliah ini akan dibahas 7 metode yakni (1) Menyatakan Sifat, (2) Enumerasi, (3) Menuliskan Pola, (4) Notasi, (5) Interval, (6) Grafik dan (7) Diagram Venn. Berikut akan diuraikan secara ringkas dan jelas.

1.    Menyatakan sifat keanggotaan,

Metode ini dilakukan dengan cara menuliskan kalimat pernyataan yang memuat sifat-sifat keanggotan dari himpunan tersebut.

Teladan 1.2

a.       M = Himpunan nama malaikat yang wajib diketahui dan diimani oleh umat islam.

Artinya bahwa, M telah didefinisikan sebagai himpunan nama-nama malaikat yang wajib kita ketahui, sehingga jika seseorang menyatakan M, maka yang dimasudkan adalah nama-nama malaikat yang wajib diketahui dan diimani umat islam.

b.      B = Himpunan bilangan bulat dari -7  hingga 7

c.       P = Himpunan bilangan prima yang kurang dari 20

d.      K = Himpunan mahasiswa kualifikasi guru madrasah IPA Biologi IAIN Mataram 2011

2. Enumerasi,

Metode ini dilakukan dengan cara mendaftar atau menuliskan semua anggota himpunan tersebut dalam tanda { }.

Teladan 1.3

Bersesuain pada Teladan 1.2 di atas, jika didefinisikan dalam bentuk enumerasi sebagai berikut:

a.       M = {Jibril, Mikail, Isrofil, Izroil, Mungkar, Nakir, Raqib, Atid, Malik Ridwan}

b.      B = {-7,-6,-5,-4,-3,-2,-1,0,1, 2, 3, 4, 5,6,7}

c.       P = {2,3,5,7,11,13,17}

d.      K = {Alif, Auliya, Erwin, Ripai, Nasir, Rena, Chidin}

3. Menuliskan pola keanggotaan

Metode ini dilakukan dengan cara menuliskan beberapa anggota himpunan yang jelas polanya kemudian anggota selanjutnya diwakilkan oleh tiga buah noktah.

Teladan1.4

a.       M = {Jibril, Mikail, Isrofil, . . .}

Artinya bahwa, M terdefinisi sebagai Himpunan nama-nama malaikat

b.      B = {-7,-6,-5, . . .,7}

Artinya bahwa, B terdefinisi sebagai himpunan bilangan bulat dari -7 hingga 7

c.       P = {2, 4, 6, . . .}

Maksudnya P didefinisikan sebagai himpunan bilangan genap positif

d.      Q = {. . ., -2, -1, 0, 1, 2, . . .}

Maksudnya Q didefinisikan sebagai himpunan bilangan bulat bulat

Catatan: Dalam penulisan pola ini, perlu diperhatikan bahwa pola yang digunakan  jangan sampai multi arti, sehingga setiap orang harus memiliki penafsiran yang sama, tapi pola tersebut harus memiliki arti yang tunggal.

4. Notasi Himpunan

Metode ini dilakukan dengan cara membuat simbol aturan dari sifat atau pola keanggotaan tersebut.

Teladan 1.5

a.       P = {x | x himpunan bilangan asli antara 7 dan 15}

Maksudnya P = {8,9,10,11,12,13,14}

b.      Q = { t | t biangan asli}

Maksudnya Q = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,…}

c.       R = { s | s²-1 = 0, s bilangan real},  maksudnya R = {-1,1}

5. Interval Bilangan

Pendefinisian himpunan dengan metode ini hanya digunakan dalam pendefinisian himpunan bilangan real dengan cara menuliskan batas bawah himpunan dan batas atas himpunan dalam tanda “( )”, “( ]”, “[ )” dan “[ ]”

Teladan 1.6

a.       R = (1, 2)

Pendefinisian di atas berarti bahwa R adalah himpunan bilangan  Real dari setelah satu sampai dengan sebelum 2. Simbol  “ ( “ berari bahwa bilangan 1 bukan termasuk anggota himpunan. Demikian juga dengan   “ ) “ berarti 2 bukan termasuk anggota himpunan.

b.      R = (1, 2]

Pendefinisian di atas berarti R adalah himpunan bilangan  Real dari setelah satu sampai dengan 2. Simbol “ ] “ berarti bahwa bilangan 2 termasuk anggota himpunan sedangkan 1 bukan  termasuk anggota.

c.       R = [1, 2) dan R = [1, 2] diberikan sebagai latihan mahasiswa.

d.      R = (-∞,2)

Pendefinisian tersebut berarti bahwa R adalah himpunan bilangan real yang kurang dari dua. Dalam hal ini bilangan 2 bukan termasuk anggota himpunan R.

e.       R = (-∞,2]

Pendefinisian tersebut berarti bahwa R adalah himpunan bilangan real yang kurang dari dan sama dengan dua.

f.       R=(2,∞), R = [2,∞) dan R =[2] diberikan kepada mahasiswa sebagai latihan.

Written by Unknown

We are Creative Blogger Theme Wavers which provides user friendly, effective and easy to use themes. Each support has free and providing HD support screen casting.